已知椭圆$C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt3}{2}$,长轴长为$4$.直线$y=kx+2$与椭圆$C$交于$A、B$两点且$∠AOB$为直角,$O$为坐标原点.
(1)求椭圆$C$的方程;
(2)求$|AB|$的长度.