(2021・安徽皁阳一中月考)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴. 如图(2), 在半圆 O中作出两个 扇形 $O A B$ 和 $O C D$, 用扇环形 $A B D C$ (图中阴影部分) 制作折叠扇的扇面. 记扇环形 $A B D C$ 的面积为 $S_{1}$, 扇形 $O A B$ 的面积为 $S_{2}$, 当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 时, 扇面的形状较为美观, 则此时扇形 $O C D$ 的半径与半圆 $O$ 的半径之比为 $(\quad)$