赫尔德不等式

赫尔德不等式（其中$a_i,b_i,c_i(i=1,2,3,4,\cdots,n)$都是非负数）

形式一：

$$(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)\ge (\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[3]{b_1b_2b_3})^3$$

形式二：

$$(a_1+b_1+c_1)(a_2+b_2+c_2)(a_3+b_3+c_3)\ge (\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[3]{b_1b_2b_3}+\sqrt[3]{c_1c_2c_3})^3$$

形式三：

$$\underbrace{(a_1+a_2+\cdots+a_n)(b_1+b_2+\cdots+b_n)\cdots(z_1+z_2+\cdots+z_n)}_{m个}\ge (\sqrt[m]{a_1b_1\cdots z_1}+\sqrt[n]{a_2b_2\cdots z_2}+\cdots +\sqrt[n]{z_nz_n\cdots z_n})^3$$

取等条件为

$$a_1:b_1:\cdots:z_1=a_2:b_2:\cdots z_2=\cdots = a_n:b_n:\cdots z_n$$

典例

例 1. 已知 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 求 $\frac{1}{\sin x}+\frac{8}{\cos x}$ 的最小值.

例 2. 已知 $a, b>0, a+2 b=3$, 求 $\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$ 的最小值.

例 3.  我们称 $\left(x_1, y_1, z_1\right),\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 两点是匹配的当 $x_1 x_2=y_1 y_2=z_1 z_2=1$.

现在已知单位向量 $\overrightarrow{O P}=(x, y, z)$, 点 $P$ 在第一象限. 若 $P, Q$ 是匹配的 过 $Q$ 点的平面与$x, y, z$ 轴的正半轴分别交于 $A, B, C$ 三点, 求四面体 $O A B C$ 体积的最大值.

例 4.  已知 $a, b \geq 0, \frac{1}{1+a^3}+\frac{8}{8+b^3}=\frac{3}{2}$, 求 $\frac{a}{1+a^3}+\frac{4 b}{8+b^3}$ 的最大值.

参考答案

例1. 

$(\frac{1}{\sin x}+\frac{8}{\cos x})^2$

$= (\frac{1}{\sin x}+\frac{8}{\cos x}) (\frac{1}{\sin x}+\frac{8}{\cos x})(sin^2x+cos^2x)$

$\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{sinx}\frac{1}{sinx}sin^2x}+\sqrt[3]{\frac{8}{cosx}\frac{8}{cosx}cos^2x}\right)^3$

$=(1+4)^3$

$=125$

当且仅当$ sin^3x=\frac{cos^3x}{8}$，即$tanx=\frac{1}{2}$时，等号成立

则

$\frac{1}{\sin x}+\frac{8}{\cos x}\ge 5\sqrt5$

例2.

由$(\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2})(a+2b)(a+2b)\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{a^2}\cdot a\cdot a}+\sqrt[3]{\frac{2}{b^2}\cdot 2b\cdot 2b}\right)^3=(1+2)^3$

则$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}\ge 3$

当且仅当$a=b=1$时，"$=$"成立